Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11. Показываем признаки делимости и объясняем их на числовых примерах.

Содержание скрыть
1 Признаки делимости чисел
2 Признак делимости на 2
3 Признак делимости на 3
4 Признак делимости на 4
5 Признак делимости на 5
6 Признак делимости на 6
7 Признак делимости на 9
8 Признак делимости на 10
9 Признак делимости на 11

Признаки делимости чисел

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Например:
    • 2, 8, 16, 24, 66, 150 — делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел четная;
    • 3, 7, 19, 35, 77, 453 — не делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел нечетная.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Например:
    • 75 — делится на 3, так как 7+5=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);
    • 471 — делится на 3, так как 4+7+1=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);
    • 532 — не делится на 3, так как 5+3+2=10, а число 10 не делится на 3 (10:3=3 1/3).

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4.

Например:
    • 4576 — делится на 4, так как число 76 делится на 4 (7·2+6=20, 20:4=5);
    • 9634 — не делится на 4, так как число 34 не делится на 4 (3·2+4=10, 10:4=2 1/2).

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда, когда последняя цифра делится на 5, т.е. если она 0 или 5.

Например:
    • 375, 5680, 233575 — делятся на 5, так как их последняя цифра равна 0 или 5;
    • 9634, 452, 389753 — не делятся на 5, так как их последняя цифра не равна 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Например:
    • 462 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 4+6+2=12, 12:3=4);
    • 3456 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 6 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 3+4+5+6=18, 18:3=6);
    • 24642 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 2+4+6+4+2=18, 18:3=6);
    • 861 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2;
    • 3458 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 3;
    • 34681 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Например:
    • 468, 4788, 69759 — делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);
    • 861, 3458, 34681 — не делятся на 9, так как сумма их цифр не делится на девять (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нoль.

Например:
    • 460, 24000, 1245464570 — делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел равна нулю;
    • 234, 25048, 1230000003 — не делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел не равна нулю.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 если сумма цифр стоящих на четных местах равна сумме цифр стоящих на нечетных местах или отличается от нее на число кратное 11.

Например:
    • 242 — делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S2n+1 = 2 + 2 = 4; сумма цифр на четных позициях S2n = 4 и S2n+1 = S2n.
    • 319 — делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S2n+1 = 3 + 9 = 12; сумма цифр на четных позициях S2n = 1, а их разность S2n+1 – S2n = 11 – делится на 11.
    • 919380 — делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S2n+1 = 9 + 9  + 8 = 26; сумма цифр на четных позициях S2n = 1 + 3 + 0 = 4, а их разность S2n+1 – S2n = 22 – делится на 11.
    • 2838 — делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S2n+1 = 2 + 3 = 5; сумма цифр на четных позициях S2n = 8+ 8 = 16, а их разность S2n – S2n+1 = 11 – делится на 11.
    • 244 — не делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S2n+1 = 2 + 4 = 6; сумма цифр на четных позициях S2n = 4 и S2n+1 – S2n = 2 – не делится на 11.

Посмотреть еще в категории: Натуральные числа и действия над ними

Посмотреть еще в категории: Натуральные числа и действия над ними