Упрощение выражений

Упрощение выражений

Упрощение выражений. Примеры и правила упрощения выражений. Свойства сложения, вычитания, умножения и деления для упрощения вычислений.

Содержание скрыть
1 Упрощение выражений
1.1 Что значит упростить выражение?
1.2 Правила упрощения выражений
2 Свойства сложения, вычитания, умножения и деления для упрощения вычислений
2.1 Свойства сложения и вычитания
2.2 Свойства умножения и деления
3 Примеры и задания для самостоятельной работы
3.1 Примеры
3.2 Задачи для самостоятельного решения

Упрощение выражений

Что значит упростить выражение?

Упростить выражение –  значит, что для исходного выражения существует множество эквивалентных выражений, то есть тех, что означают одно и то же. И из всего этого множества мы должны выбрать самое простое, на наш взгляд, или самое подходящее для наших дальнейших целей.

Правила упрощения выражений

Для того чтобы упростить выражение, его необходимо заменить на эквивалентное (равное).

Для определения эквивалентного выражения необходимо:

    1. Выполнить все возможные действия,
    2. Пользоваться свойствами сложение, вычитания, умножения и деления для упрощения вычислений.

Свойства сложения, вычитания, умножения и деления для упрощения вычислений

Свойства сложения и вычитания

  1. Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

\( a + b = b + a \)

  1. Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

\( a + (b + c) = (a  + b) + c \)

  1. Свойство вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно вычитать каждое слагаемое по отдельности.

\( a – (b + c) = a  – b – c \)

Свойства умножения и деления

  1. Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется.

\( ab = ba \)

  1. Сочетательное свойство умножения: чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

\( a(bc) = (ab)c \)

  1. Распределительное свойство умножения: чтобы число умножить на сумму, нужно его умножить на каждое слагаемое по отдельности.

\( a (b + c) = ab + ac \)

Примеры и задания для самостоятельной работы

Примеры

Вычислите:

  1. \(80 ⋅ 7\)
  2. \(81 ⋅ 7\)
  3. \(49 ⋅ 8\)
  4. \(47 ⋅ 6\)

Решение

  1. Представим 80 как \(8 ⋅ 10 : 80 ⋅ 7  = (8 ⋅ 10) ⋅ 7 = 8 ⋅ 7 ⋅ 10 = 56 ⋅ 10 = 560\)
  2. Представим первый множитель как сумму разрядных слагаемых и выполним умножение: \(81 ⋅ 7 = (80 + 1) ⋅ 7 = 80 ⋅ 7 + 1 ⋅ 7 = 560 + 7 = 567 \)
  3. 49 можно представить как 50 – 1  и выполнить умножение: \(49 ⋅ 8 = (50 – 1) ⋅ 8 = 50 ⋅ 8 – 1 ⋅ 8 = 400 – 8 = 392\)
  4. Заменим первый множитель эквивалентной суммой: \(47 ⋅ 6 = (40 + 7) ⋅ 6 = 40 ⋅ 6 + 7 ⋅ 6 = 240 + 42 =282\)

Распределительный закон можно использовать и в обратную сторону: \( a ⋅ b + a ⋅ c = a ⋅ (b + c) \).

Выполните действия:

  1. \(69 ⋅ 27 + 31 ⋅ 27 \)
  2. \(22 ⋅ 873 – 12 ⋅ 873 \)

Решение

  1. Для удобства можно воспользоваться распределительным законом, только использовать его в обратную сторону – вынести общий множитель за скобки.

\(69 ⋅ 27 + 31 ⋅ 27 = 27 ⋅ (69 + 31) = 27 ⋅ 100 = 2700 \)

  1. Вынесем за скобки общий множитель 873:

\(22 ⋅ 873 – 12 ⋅ 873 = 873 ⋅ (22 – 12) = 873 ⋅ 10 = 8730  \)

Задачи для самостоятельного решения

Посмотреть еще в категории: Натуральные числа и действия над ними

Посмотреть еще в категории: Натуральные числа и действия над ними