Четыре замечательные точки треугольника

Четыре замечательные точки треугольника: точки пересечения медиан, биссектрис, высот, серединных перпендикуляров. Понятие и суть.

Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Точки пересечения:

• медиан — центроид, центр тяжести (масс);
• биссектрис — инцентр или центр вписанной окружности;
• высот — ортоцентр;
• серединных перпендикуляров — центр описанной окружности.

В ней находится центр тяжести однородной треугольной пластины, также она является средним арифметическим положений всех точек треугольника.

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в его геометрическом центре и делятся в этой точке в отношении 2:1, считая от вершин.

Доказательство

Отрезок А1В1 параллелен АВ, поэтому углы 1, 2, 3 и 4 равны друг другу. Таким образом, треугольники АОВ и А₁ОВ₁ подобны по двум углам, и их стороны пропорциональны. АВ=2А₁В₁, значит, АО=2А₁О и ВО=2В₁О, а точка О разделяет медианы на отрезки с отношением 2:1, считая от вершин. Аналогично она делит медиану СС₁.

Точка пересечения трех биссектрис расположена на равном расстоянии от всех сторон треугольника и находится в центре вписанного в треугольник круга.

Теорема: Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

Линии, проходящие через середины сторон треугольника перпендикулярно к ним, пересекаются в центре круга, описанного вокруг треугольника. В остроугольном треугольнике точка пересечения перпендикуляров расположена внутри него, в тупоугольном — снаружи. Если треугольник прямоугольный, точка находится на гипотенузе.

Теорема: Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, к которому он перпендикулярен.

Доказательство:

Изобразим внутри треугольника АВС перпендикуляры m и n, отметим точку их пересечения О.

Согласно теореме о равной удаленности серединных перпендикуляров от концов отрезка, ОВ = ОА и ОВ = ОС. Соответственно, ОА = ОС, и точка О находится на одинаковом расстоянии от точек А и С. Таким образом, серединный перпендикуляр р к отрезку АС тоже будет проходить через точку О, и все три перпендикуляра пересекутся в одной точке.

Высоты или их продолжения могут пересекаться как внутри треугольника, если он остроугольный, так и вне его, если он тупоугольный. Если треугольник прямоугольный, тогда ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла.

Теорема: Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Изобразим произвольный треугольник АВС и прямые AA₁, BB₁ и СС1, содержащие его высоты. Проведем через каждую вершину прямые, параллельные противоположным сторонам треугольника, получив треугольник A₂B₂C₂. Точки А, В и С окажутся серединами его сторон. АВ=A₂C=В₂C, так как эти отрезки являются противоположными сторонами параллелограммов АВА₂С и АВСВ₂. Соответственно, С₂А=АВ₂ и С₂В=ВА_2.

Из построения следует, что отрезок СС₁ перпендикулярен А₂В₂, АА₁⊥В₂С₂ и ВВ₁⊥А₂С₂. Следовательно, прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ — серединные перпендикуляры сторон треугольника А₂В₂С₂, которые пересекутся в одной точке.