Высота, медиана, биссектриса треугольника

Высота, медиана, биссектриса треугольника. Понятия, свойства и формулы высоты, медианы, биссектрисы треугольника.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться

• внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
• совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
• проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
2. Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

Формулы высот треугольника через сторону и угол:

Формулы высот треугольника через сторону и площадь:

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности:

 Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения медиан называется центроидом)
2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1).
   • 
3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части
   • 
4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
   • 
5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы медиан треугольника через стороны:

Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника:

1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.

2. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

   

3. Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

   
4. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.