Задачи на взвешивание

Задачи на взвешивание

Рассматриваем, как решать задачи на взвешивание. Показываем алгоритм решения задач на взвешивание и примеры решения.

Содержание скрыть
1 Задачи на взвешивание и их суть
2 Алгоритм решения задач на взвешивание

Задачи на взвешивание и их суть

Задачи на взвешивание – достаточно распространённый вид математических задач. В таких задачах от решающего требуется выявить отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой.

Рассмотрим примеры задач на взвешивание.

Алгоритм решения задач на взвешивание

Алгоритм решения задач на взвешивание:

  1. Составляем краткую запись.
  2. Выбираем способ решения (методом составления дерева вариантов) и решаем задачу.
  3. Выписываем ответ.

Решение задачи 1.

  1. Берём 2 любых кольца (третье остаётся на столе) и кладём каждое на чашу весов. Составим дерево вариантов.
  Взвешивание 2 колец  
Весы показывают, что вес колец различный. Весы показывают, что вес колец одинаковый.
Значит, «особенное» кольцо на одной из чаш весов (на той, что поднялась верх, ведь искомое кольцо более лёгкое). Значит, более лёгкое кольцо не взвешивалось – осталось на столе.

 

Задача 2 . Имеются чашечные весы без гирь и 4 одинаковые по внешнему виду монеты. Одна из монет фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих или тяжелее (одинаковые монеты одного веса). Сколько надо сделать взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету?

Решение задачи 2.

Берем две монеты и ставим на весы:

  1. Если весы равновесны, то обе монеты настоящие. Одну снимаем. На ее место кладем любую из оставшихся. Если весы остались в равновесии, то фальшивая та, которая еще не взвешивалась. Если же весы потеряли равновесие, то фальшивая та, которая была положена на весы вместо снятой.
  2. Если весы не равновесны, то снимаем любую монету, кладем на ее место одну из оставшихся (которые, по понятным причинам являются настоящими), и смотрим. Если положение чаш не изменилось, то нетронутая монета фальшивая, если же изменилось, и весы пришли в равновесие, то снятая монета фальшивая.
  3. Составим дерево вариантов .

Взвешивание двух монет (1 взвешивание)
Весы показывают, что вес монет отличается.

Значит фальшивая  монета лежит на весах. На столе все монеты настоящие

Снимаем с чаши весов любую монету, и на ее место кладем одну из оставшихся

(2-ое взвешивание)

 Равновесие (Весы показывают, что вес монет одинаковый).

Значит фальшивая монета осталась на столе.

Снимаем с чаши весов любую монету, и на ее место кладем одну из оставшихся

(2-ое взвешивание)
Весы показывают, что вес монет отличается.

 

 Весы показывают, что вес монет одинаковый Весы показывают, что вес монет отличается. Весы показывают, что вес монет одинаковый
Значит монета, которую мы оставили на весах с первого взвешивания – фальшивая. Значит монета, которую мы только что сняли – была фальшивая Значит фальшивая та, которую положили на весы последней Значит фальшивая та, которая еще не взвешивалась. Задача решена

Ответ: 2 взвешивания.

Задача 3. У вас есть 24 с виду одинаковых 100-граммовых гирек и чашечные весы. Внезапно выясняется, что одна из гирек бракованная и весит чуть больше остальных. Какое минимальное количество взвешиваний необходимо для определения бракованной гирьки?

Решение задачи 3.

  1. Необходимо разделить 24 гири на 3 равных группы по 8 гирь в каждой. Теперь при помощи взвешивания на чашечных весах сравниваем вес двух первых групп гирь.
  2. Составим дерево вариантов.

Взвешивание двух групп гирь по 8 гирь в каждой (I взвешивание).
Весы показывают, что вес разный.

Значит, бракованная гиря среди этих двух групп ( в той чаше, что опустилась вниз).

 Весы показывают, что вес одинаковый.

Значит, бракованная гиря среди тех 8, что не взвешивали.
Работаем с той группой  гирь, где подтверждена бракованная гиря.

8 гирь делим = 3 + 3 + 2. На первую чашу – 3 гири, на вторую – ещё 3 гири

(II взвешивание).
Весы показывают, что вес разный.

Значит, бракованная гиря среди той группы из 3 гирь, чья чаша весов опустилась вниз.

 Равенство.

Значит, бракованная гиря среди тех 2 , что не взвешивали.

III взвешивание
На каждой чаше по одной из трёх монет  (третья монета – на столе). На каждой чаше – по одной из 2 не взвешенных ранее гирь. Та чаша, что опустится вниз, покажет бракованную гирю.
Весы показывают, что вес разный. Бракованная гиря на чаше весов, что опустилась вниз. Равенство. Значит, бракованная гиря – ранее не взвешенная, та, что осталась на столе.

Ответ: 3 взвешивания.

Посмотреть еще в категории: Логические задачи

Посмотреть еще в категории: Логические задачи