Исследовательская работа “Функциональное уравнение”

теоретическая работа

Автор: Карлович Анастасия Александровна

Место работы/учебы: ГУО "Грицкевичский учебно-педагогический комплекс детский сад - средняя школа", Республика Беларусь, 10 класс

Научный руководитель: Данилова Елена Ивановна, учитель математики и информатики

Аннотация

Одно из важнейших математических умений, которым должны овладеть учащиеся средней школы, − умение решать уравнения. Предлагаемая вниманию читателя исследовательская работа посвящена проблеме решения функциональных уравнений.

Актуальность темы исследования заключается в том, что эта тема в школьном курсе математики не изучается в виду её сложности, а на олимпиадах такие задачи встречаются.

Цель настоящего исследования: найти алгоритм решения функциональных уравнений, содержащих под знаком модуля неизвестную функцию.

Объекты исследования: функциональные уравнения.

Задачи исследования:

  1. Определить, существует ли такая функция  f, что для любого действительного значения  x  выполнено равенство x=f(|x|)+|f(x)|.
  2. Найти все такие функции  f, что для любого действительного  x  выполнены равенства x=-0,5f(|x|)+|f(x)| и x=0,75f(|x|)+|f(x)| .
  3. Решить функциональные уравнения: a0 =f(|x|)+|f(x)|, a0 =-0,5f(|x|)+|f(x)|, a0 =0,75f(|x|)+|f(x)|, где a0 – константа.
  4. Найти все значения параметра a, при которых функциональное уравнение a0 =af(|x|)+|f(x)|   не имеет решений; имеет единственное решение; имеет более одного решения.

Гипотеза: существует определенный алгоритм решения функциональных уравнений вида х =af(|x|)+|f(x)| и a0 =af(|x|)+|f(x)| ), где a0– константа и количество корней таких уравнений зависит от значений параметра а и константы a.

Методы исследования: изучение и анализ литературы, поиск необходимой информации в сети Интернет; практический метод; метод аналогии; метод анализа полученных в ходе исследования данных; метод сравнения; метод систематизации и обобщения данных.

Практическая значимость работы заключается в том, что применяемый здесь алгоритм решения уравнений, содержащих под знаком модуля функцию, может быть предложен как один из альтернативных вариантов решения уравнений учащимся, интересующимся математикой. Кроме того, с помощью полученных в ходе исследования формул, можно решать целый класс уравнений, аналогичных рассмотренным в данной исследовании. Вопросы, рассмотренные в работе, не только расширяют кругозор, но и несут обучающую функцию, так как на олимпиадах такие задачи встречаются, что только подчеркивает значимость выбранной темы.

Результаты

В результате проведенного исследования было установлено, что:
1) не существует такой функции f , что для любого действительного значения x выполнено равенство x=f(|x|)+|f(x)|
2) решением уравнения x=-0,5 f(|x|)+|f(x)| для любого действительного x является функция f(x)=2x,при x>0, f(x)=0,при x≤0
3) решением уравнения x=0,75 f(|x|)+|f(x)| для любого действительного x является функция f(x)= -4x,при x≥0, f(x)=2x,при x<0 4) решением функционального уравнения ao =f(|x|)+|f(x)| являются функции f(x)=ao/2 при ao≥0 и f(x)=b,где b≤0,b∈R при ao=0 5) решением функционального уравнения ao =-0,5 f(|x|)+|f(x)| являются функции f(x)=2аo при ao≥0 и f(x)=-2/3 ao при ao≥0 6) решением функционального уравнения ao=0,75 f(|x|)+|f(x)|, являются функции f(x)=4/7 ao при ao≥0 и f(x)=-4ao при ao≥0 7) функциональное уравнение ao=af(|x|)+|f(x)| не имеет решений при ao≤0 и -1≤a≤1 8) функциональное уравнение ao=af(|x|)+|f(x)| имеет единственное решение при ao=0 и -10 и -1

Содержание работы

Дата публикации работы: 31.01.2021

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Смотреть похожие работы

Исследовательский проект “Исследование результатов оценки угроз безопасности на транспорте и их количественный показатель”
Актуальность проблемы Основополагающее значение в вопросах обеспечения транспортной безопасности имеет четкое определение и мониторинг угроз совершения актов незаконного вмешательства в деятельность объектов транспортной инфраструктуры и транспортных средств. Актуальность выбранной темы…
Исследовательский проект “Река Лама – уникальный природный объект Волоколамского района”
Актуальность темы. Я считаю, что к памятникам природы необходимо отнести верховье реки Ламы, а точнее природный комплекс Шитьковского болота и озера Стекло. Данная территория является уникальным природным объектом. В своей…