.tb-container .tb-container-inner{width:100%;margin:0 auto} .wp-block-toolset-blocks-container.tb-container[data-toolset-blocks-container="9d371cc4f1740103f1f3a13231de6b3b"] { border-radius: 7px;padding: 25px;border: 1px solid rgba( 166, 55, 189, 0.55 ); } .tb-field[data-toolset-blocks-field="d63a74801051d3090d414a4114fd48a8"] { font-size: 14px;color: rgba( 61, 61, 61, 1 ); }  .tb-field[data-toolset-blocks-field="1aaccac0f35d2dcbfd4eeb0d2db900be"] { font-weight: bold;color: rgba( 155, 81, 224, 1 ); }  .tb-field[data-toolset-blocks-field="1aaccac0f35d2dcbfd4eeb0d2db900be"] a { font-weight: bold; } .tb-grid,.tb-grid>.block-editor-inner-blocks>.block-editor-block-list__layout{display:grid;grid-row-gap:25px;grid-column-gap:25px}.tb-grid-item{background:#d38a03;padding:30px}.tb-grid-column{flex-wrap:wrap}.tb-grid-column>*{width:100%}.tb-grid-column.tb-grid-align-top{width:100%;display:flex;align-content:flex-start}.tb-grid-column.tb-grid-align-center{width:100%;display:flex;align-content:center}.tb-grid-column.tb-grid-align-bottom{width:100%;display:flex;align-content:flex-end}.tb-grid,.tb-grid>.block-editor-inner-blocks>.block-editor-block-list__layout{display:grid;grid-row-gap:25px;grid-column-gap:25px}.tb-grid-item{background:#d38a03;padding:30px}.tb-grid-column{flex-wrap:wrap}.tb-grid-column>*{width:100%}.tb-grid-column.tb-grid-align-top{width:100%;display:flex;align-content:flex-start}.tb-grid-column.tb-grid-align-center{width:100%;display:flex;align-content:center}.tb-grid-column.tb-grid-align-bottom{width:100%;display:flex;align-content:flex-end} .wp-block-toolset-blocks-grid.tb-grid[data-toolset-blocks-grid="786e014b2e414fb0149a4ea645bdbdbe"] { grid-template-columns: minmax(0, 0.78fr) minmax(0, 0.22fr);grid-auto-flow: row } .wp-block-toolset-blocks-grid.tb-grid[data-toolset-blocks-grid="786e014b2e414fb0149a4ea645bdbdbe"] > .tb-grid-column:nth-of-type(2n + 1) { grid-column: 1 } .wp-block-toolset-blocks-grid.tb-grid[data-toolset-blocks-grid="786e014b2e414fb0149a4ea645bdbdbe"] > .tb-grid-column:nth-of-type(2n + 2) { grid-column: 2 } .tb-container .tb-container-inner{width:100%;margin:0 auto} .wp-block-toolset-blocks-container.tb-container[data-toolset-blocks-container="7fab3b54ecc84e84e44e228bf81b136d"] { background: rgba( 6, 147, 227, 1 );padding: 25px; } .tb-field[data-toolset-blocks-field="40342d89b265453b0eb1e41dc19edc71"] { font-weight: bold;text-transform: uppercase;color: rgba( 255, 255, 255, 1 ); }  .wp-block-toolset-blocks-grid-column.tb-grid-column[data-toolset-blocks-grid-column="3034fbe886c11054e95b46b09d3e4112"] { display: flex; }     .tb-field[data-toolset-blocks-field="e31dcba0cffe97b01fb1391fd3e75aba"] a { color: rgba( 6, 147, 229, 0.58 );text-decoration: none;text-transform: uppercase; } .tb-field[data-toolset-blocks-field="ad082096fbb52a749a0892295378f993"] { text-transform: uppercase;color: rgba( 123, 220, 181, 1 ); }  .tb-field[data-toolset-blocks-field="ad082096fbb52a749a0892295378f993"] a { color: rgba( 0, 209, 132, 0.48 );text-decoration: none;text-transform: uppercase; } h1.tb-heading[data-toolset-blocks-heading="19e80d956559bebc21e8928194d671d2"]  { text-transform: uppercase; }  @media only screen and (max-width: 781px) { .tb-container .tb-container-inner{width:100%;margin:0 auto}  .tb-grid,.tb-grid>.block-editor-inner-blocks>.block-editor-block-list__layout{display:grid;grid-row-gap:25px;grid-column-gap:25px}.tb-grid-item{background:#d38a03;padding:30px}.tb-grid-column{flex-wrap:wrap}.tb-grid-column>*{width:100%}.tb-grid-column.tb-grid-align-top{width:100%;display:flex;align-content:flex-start}.tb-grid-column.tb-grid-align-center{width:100%;display:flex;align-content:center}.tb-grid-column.tb-grid-align-bottom{width:100%;display:flex;align-content:flex-end}.tb-grid,.tb-grid>.block-editor-inner-blocks>.block-editor-block-list__layout{display:grid;grid-row-gap:25px;grid-column-gap:25px}.tb-grid-item{background:#d38a03;padding:30px}.tb-grid-column{flex-wrap:wrap}.tb-grid-column>*{width:100%}.tb-grid-column.tb-grid-align-top{width:100%;display:flex;align-content:flex-start}.tb-grid-column.tb-grid-align-center{width:100%;display:flex;align-content:center}.tb-grid-column.tb-grid-align-bottom{width:100%;display:flex;align-content:flex-end} .wp-block-toolset-blocks-grid.tb-grid[data-toolset-blocks-grid="786e014b2e414fb0149a4ea645bdbdbe"] { grid-template-columns: minmax(0, 0.5fr) minmax(0, 0.5fr);grid-auto-flow: row } .wp-block-toolset-blocks-grid.tb-grid[data-toolset-blocks-grid="786e014b2e414fb0149a4ea645bdbdbe"] > .tb-grid-column:nth-of-type(2n + 1) { grid-column: 1 } .wp-block-toolset-blocks-grid.tb-grid[data-toolset-blocks-grid="786e014b2e414fb0149a4ea645bdbdbe"] > .tb-grid-column:nth-of-type(2n + 2) { grid-column: 2 } .tb-container .tb-container-inner{width:100%;margin:0 auto} .wp-block-toolset-blocks-grid-column.tb-grid-column[data-toolset-blocks-grid-column="3034fbe886c11054e95b46b09d3e4112"] { display: flex; }        } @media only screen and (max-width: 599px) { .tb-container .tb-container-inner{width:100%;margin:0 auto}  .tb-grid,.tb-grid>.block-editor-inner-blocks>.block-editor-block-list__layout{display:grid;grid-row-gap:25px;grid-column-gap:25px}.tb-grid-item{background:#d38a03;padding:30px}.tb-grid-column{flex-wrap:wrap}.tb-grid-column>*{width:100%}.tb-grid-column.tb-grid-align-top{width:100%;display:flex;align-content:flex-start}.tb-grid-column.tb-grid-align-center{width:100%;display:flex;align-content:center}.tb-grid-column.tb-grid-align-bottom{width:100%;display:flex;align-content:flex-end}.tb-grid,.tb-grid>.block-editor-inner-blocks>.block-editor-block-list__layout{display:grid;grid-row-gap:25px;grid-column-gap:25px}.tb-grid-item{background:#d38a03;padding:30px}.tb-grid-column{flex-wrap:wrap}.tb-grid-column>*{width:100%}.tb-grid-column.tb-grid-align-top{width:100%;display:flex;align-content:flex-start}.tb-grid-column.tb-grid-align-center{width:100%;display:flex;align-content:center}.tb-grid-column.tb-grid-align-bottom{width:100%;display:flex;align-content:flex-end} .wp-block-toolset-blocks-grid.tb-grid[data-toolset-blocks-grid="786e014b2e414fb0149a4ea645bdbdbe"] { grid-template-columns: minmax(0, 1fr);grid-auto-flow: row } .wp-block-toolset-blocks-grid.tb-grid[data-toolset-blocks-grid="786e014b2e414fb0149a4ea645bdbdbe"]  > .tb-grid-column:nth-of-type(1n+1) { grid-column: 1 } .tb-container .tb-container-inner{width:100%;margin:0 auto} .wp-block-toolset-blocks-grid-column.tb-grid-column[data-toolset-blocks-grid-column="3034fbe886c11054e95b46b09d3e4112"] { display: flex; }        } 

Исследовательская работа “Применение комплексных чисел при решении уравнений”

исследование

Алгебра

Автор: Ячменева Альбина Николаевна

Место работы/учебы: МАОУ СОШ №26, г. Волчанск, Свердловская область, 11 класс

Научный руководитель: Коротков Дмитрий Александрович, учитель математики

Аннотация

Как-то раз, решая квадратное уравнение, у меня получился отрицательный дискриминант. Нас учили в школе, что если уравнение имеет отрицательный дискриминант, то корней у такого уравнения не будет. Но я девочка любознательная, мне стало интересно, а действительно ли так? Как оказалось, эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Так я и познакомилась с мнимой величиной.

Комплексные числа находят применение во многих вопросах науки и техники. Сейчас комплексные числа активно применяются в информатике, динамике, электромеханике, радиотехнике, теории упругости, активно развиваются в других науках.

Мне стало интересно, а знают ли об этом другие ученики нашей школы. Я провела опрос среди учеников 11 класса МАОУ СОШ № 26, в котором задала 5 вопросов по данной теме, чтобы выявить знания о комплексных числах и заинтересованность учеников в их изучении. В ходе опроса было выявлено, что большая часть учеников не знает, что такое комплексное число. Абсолютно все опрошенные никогда не встречались с ними в жизни. В конце опроса был задан вопрос: «Хотели бы Вы познакомиться с данными числами поближе?» 80% респондентов ответило «да», это говорит о заинтересованности учеников. Исходя из результатов анкетирования, мною было принято решение изучить комплексные числа более детально и поделиться своими результатами с другими.

Объект исследования — применение комплексных чисел при решении уравнений.

Предмет исследования — методы решения алгебраических уравнений.

Цель исследования — знакомство с комплексными числами, с их свойствами, действиями над ними, а также умение их применять при решении уравнений.

Задачи исследования:

определить комплексные числа и их возникновение как отдельное множество чисел;
рассмотреть методы решения алгебраических уравнений с использованием комплексных чисел;
составить конспект урока и провести внеурочное занятие на тему «Комплексные числа».

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: анализ литературы, дедуктивный метод, исторический метод.

В соответствии с проблемой, объектом, предметом и целью исследования была выдвинута следующая гипотеза: навыки работы с аппаратом комплексных чисел дают возможность обнаружить новые факты и делать обобщения.

Практическая значимость — изучение множества комплексных чисел позволит увеличить уровень математической грамотности.

Результаты

Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b – действительные числа, а «i» – число нового рода, называемое мнимой единицей. «Мнимые» числа составляют частный вид комплексных чисел (а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).
Уравнения бывают следующих видов: линейные, квадратные, биквадратные, тригонометрические, логарифмические, показательные, рациональные, иррациональные и дробные.
Алгебраические уравнения решаются с помощью следующих методов: метод разложения на множители, метод введения новых переменных, функционально – графический метод.
Решение уравнений с помощью комплексных чисел заключается в введении «мнимой единицы» и получения ответа через «i». С помощью комплексных чисел решаются уравнения квадратные (дискриминант отрицательный), тригонометрические (с помощью координат синуса и косинуса).
Нами был составлен конспект урока в соответствии с требованиями ФГОС 2012 года и этапами урока. Проведен урок в 11 классе на тему «Комплексные числа» и проанализированы его результаты, которые показали, что тема была интересна и ее усвоили большинство учащихся этого класса.
Подводя итог, можно сказать, что поставленные задачи полностью выполнены, цель достигнута, гипотеза, приведенная в начале работы, подтверждена.