.tb-container .tb-container-inner{width:100%;margin:0 auto} .wp-block-toolset-blocks-container.tb-container[data-toolset-blocks-container="9d371cc4f1740103f1f3a13231de6b3b"] { border-radius: 7px;padding: 25px;border: 1px solid rgba( 166, 55, 189, 0.55 ); } .tb-field[data-toolset-blocks-field="d63a74801051d3090d414a4114fd48a8"] { font-size: 14px;color: rgba( 61, 61, 61, 1 ); }  .tb-field[data-toolset-blocks-field="1aaccac0f35d2dcbfd4eeb0d2db900be"] { font-weight: bold;color: rgba( 155, 81, 224, 1 ); }  .tb-field[data-toolset-blocks-field="1aaccac0f35d2dcbfd4eeb0d2db900be"] a { font-weight: bold; } .tb-grid,.tb-grid>.block-editor-inner-blocks>.block-editor-block-list__layout{display:grid;grid-row-gap:25px;grid-column-gap:25px}.tb-grid-item{background:#d38a03;padding:30px}.tb-grid-column{flex-wrap:wrap}.tb-grid-column>*{width:100%}.tb-grid-column.tb-grid-align-top{width:100%;display:flex;align-content:flex-start}.tb-grid-column.tb-grid-align-center{width:100%;display:flex;align-content:center}.tb-grid-column.tb-grid-align-bottom{width:100%;display:flex;align-content:flex-end}.tb-grid,.tb-grid>.block-editor-inner-blocks>.block-editor-block-list__layout{display:grid;grid-row-gap:25px;grid-column-gap:25px}.tb-grid-item{background:#d38a03;padding:30px}.tb-grid-column{flex-wrap:wrap}.tb-grid-column>*{width:100%}.tb-grid-column.tb-grid-align-top{width:100%;display:flex;align-content:flex-start}.tb-grid-column.tb-grid-align-center{width:100%;display:flex;align-content:center}.tb-grid-column.tb-grid-align-bottom{width:100%;display:flex;align-content:flex-end} .wp-block-toolset-blocks-grid.tb-grid[data-toolset-blocks-grid="786e014b2e414fb0149a4ea645bdbdbe"] { grid-template-columns: minmax(0, 0.78fr) minmax(0, 0.22fr);grid-auto-flow: row } .wp-block-toolset-blocks-grid.tb-grid[data-toolset-blocks-grid="786e014b2e414fb0149a4ea645bdbdbe"] > .tb-grid-column:nth-of-type(2n + 1) { grid-column: 1 } .wp-block-toolset-blocks-grid.tb-grid[data-toolset-blocks-grid="786e014b2e414fb0149a4ea645bdbdbe"] > .tb-grid-column:nth-of-type(2n + 2) { grid-column: 2 } .tb-container .tb-container-inner{width:100%;margin:0 auto} .wp-block-toolset-blocks-container.tb-container[data-toolset-blocks-container="7fab3b54ecc84e84e44e228bf81b136d"] { background: rgba( 6, 147, 227, 1 );padding: 25px; } .tb-field[data-toolset-blocks-field="40342d89b265453b0eb1e41dc19edc71"] { font-weight: bold;text-transform: uppercase;color: rgba( 255, 255, 255, 1 ); }  .wp-block-toolset-blocks-grid-column.tb-grid-column[data-toolset-blocks-grid-column="3034fbe886c11054e95b46b09d3e4112"] { display: flex; }     .tb-field[data-toolset-blocks-field="e31dcba0cffe97b01fb1391fd3e75aba"] a { color: rgba( 6, 147, 229, 0.58 );text-decoration: none;text-transform: uppercase; } .tb-field[data-toolset-blocks-field="ad082096fbb52a749a0892295378f993"] { text-transform: uppercase;color: rgba( 123, 220, 181, 1 ); }  .tb-field[data-toolset-blocks-field="ad082096fbb52a749a0892295378f993"] a { color: rgba( 0, 209, 132, 0.48 );text-decoration: none;text-transform: uppercase; } h1.tb-heading[data-toolset-blocks-heading="19e80d956559bebc21e8928194d671d2"]  { text-transform: uppercase; }  @media only screen and (max-width: 781px) { .tb-container .tb-container-inner{width:100%;margin:0 auto}  .tb-grid,.tb-grid>.block-editor-inner-blocks>.block-editor-block-list__layout{display:grid;grid-row-gap:25px;grid-column-gap:25px}.tb-grid-item{background:#d38a03;padding:30px}.tb-grid-column{flex-wrap:wrap}.tb-grid-column>*{width:100%}.tb-grid-column.tb-grid-align-top{width:100%;display:flex;align-content:flex-start}.tb-grid-column.tb-grid-align-center{width:100%;display:flex;align-content:center}.tb-grid-column.tb-grid-align-bottom{width:100%;display:flex;align-content:flex-end}.tb-grid,.tb-grid>.block-editor-inner-blocks>.block-editor-block-list__layout{display:grid;grid-row-gap:25px;grid-column-gap:25px}.tb-grid-item{background:#d38a03;padding:30px}.tb-grid-column{flex-wrap:wrap}.tb-grid-column>*{width:100%}.tb-grid-column.tb-grid-align-top{width:100%;display:flex;align-content:flex-start}.tb-grid-column.tb-grid-align-center{width:100%;display:flex;align-content:center}.tb-grid-column.tb-grid-align-bottom{width:100%;display:flex;align-content:flex-end} .wp-block-toolset-blocks-grid.tb-grid[data-toolset-blocks-grid="786e014b2e414fb0149a4ea645bdbdbe"] { grid-template-columns: minmax(0, 0.5fr) minmax(0, 0.5fr);grid-auto-flow: row } .wp-block-toolset-blocks-grid.tb-grid[data-toolset-blocks-grid="786e014b2e414fb0149a4ea645bdbdbe"] > .tb-grid-column:nth-of-type(2n + 1) { grid-column: 1 } .wp-block-toolset-blocks-grid.tb-grid[data-toolset-blocks-grid="786e014b2e414fb0149a4ea645bdbdbe"] > .tb-grid-column:nth-of-type(2n + 2) { grid-column: 2 } .tb-container .tb-container-inner{width:100%;margin:0 auto} .wp-block-toolset-blocks-grid-column.tb-grid-column[data-toolset-blocks-grid-column="3034fbe886c11054e95b46b09d3e4112"] { display: flex; }        } @media only screen and (max-width: 599px) { .tb-container .tb-container-inner{width:100%;margin:0 auto}  .tb-grid,.tb-grid>.block-editor-inner-blocks>.block-editor-block-list__layout{display:grid;grid-row-gap:25px;grid-column-gap:25px}.tb-grid-item{background:#d38a03;padding:30px}.tb-grid-column{flex-wrap:wrap}.tb-grid-column>*{width:100%}.tb-grid-column.tb-grid-align-top{width:100%;display:flex;align-content:flex-start}.tb-grid-column.tb-grid-align-center{width:100%;display:flex;align-content:center}.tb-grid-column.tb-grid-align-bottom{width:100%;display:flex;align-content:flex-end}.tb-grid,.tb-grid>.block-editor-inner-blocks>.block-editor-block-list__layout{display:grid;grid-row-gap:25px;grid-column-gap:25px}.tb-grid-item{background:#d38a03;padding:30px}.tb-grid-column{flex-wrap:wrap}.tb-grid-column>*{width:100%}.tb-grid-column.tb-grid-align-top{width:100%;display:flex;align-content:flex-start}.tb-grid-column.tb-grid-align-center{width:100%;display:flex;align-content:center}.tb-grid-column.tb-grid-align-bottom{width:100%;display:flex;align-content:flex-end} .wp-block-toolset-blocks-grid.tb-grid[data-toolset-blocks-grid="786e014b2e414fb0149a4ea645bdbdbe"] { grid-template-columns: minmax(0, 1fr);grid-auto-flow: row } .wp-block-toolset-blocks-grid.tb-grid[data-toolset-blocks-grid="786e014b2e414fb0149a4ea645bdbdbe"]  > .tb-grid-column:nth-of-type(1n+1) { grid-column: 1 } .tb-container .tb-container-inner{width:100%;margin:0 auto} .wp-block-toolset-blocks-grid-column.tb-grid-column[data-toolset-blocks-grid-column="3034fbe886c11054e95b46b09d3e4112"] { display: flex; }        } 

Проектная работа “Музыка в математике”

проектная работа

Математика

Автор: Гребенюк Руслан Кенжебекович

Место работы/учебы: МОУ "Сланцевская СОШ №3", Ленинградская область, 7 класс

Научный руководитель: Панакшина Наталья Васильевна, учитель математики

Аннотация

С момента появления на свет мы слышим и слушаем музыку, например, когда мама поёт нам колыбельную песню. Для музыкантов музыка стала привычной и необходимой частью жизни. Музыка – это речь. В ней есть и смысл, и красота, и чувство. В песне смысл понятен, потому что там есть слова и поэтому понятно про что рассказывает музыка. Но ведь бывает музыка без слов. Играет, например, что-то задумчиво скрипка: как тут поймешь, про что музыка, какой в ней смысл. Как найдёшь смысл в музыке без слов? На своём языке говорят музыкальные звуки. Чтобы их понять, нужно знать их язык.

Я учусь в 7-б классе и с большим увлечением посещаю музыкальную школу, где учусь играть на гитаре и фортепиано. На уроках математики я узнал о том, что древнегреческий философ Пифагор один из самых первых установил связь между музыкой и математикой. Он создал учение о звуке, изучал философскую математическую стороны звука, даже пытался связать музыку с астрономией. Используя особый инструмент – монохорд, Пифагор изучал интервалы, открывал математические соотношения между отдельными звуками. Благодаря полученным знаниям на уроках математике, я сделал вывод, что математические знания дошли до нас из глубокой древности. Но отличались древние люди от нас тем, что умели видеть в самых обычных вещах математические закономерности. Казалось бы, что у музыки с математикой нет ничего общего. Но на самом деле это не так! Я очень люблю заниматься музыкой, а вот с математикой всё гораздо сложнее. И я задумался, можно ли связать математику и музыку.

Гипотеза: я предполагаю, что есть связь между музыкой и математикой, так как любое музыкальное произведение можно представить, как математическую модель, которая имеет числовые закономерности.

Цель: доказать, что музыка и математика тесно связаны, в них есть очень много общего.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить ряд задач:

Проанализировать литературные источники поданной теме.
Узнать, были ли в истории попытки связать музыку с математикой.
Разобрать музыкальное произведение.
Сформулировать выводы.

Объект исследования: музыка и математика.

Новизна исследования заключается в использовании математических подходов и методов к изучению музыкальных произведений, получения новых знаний, являющихся результатом проектной работы.

Результаты

Из знаний, полученных на уроках по математике и в музыкальной школе на занятиях сольфеджио, проводя личные наблюдения музыкальных произведений, я выявил следующие совпадения:
1. Цифровые обозначения и дроби. Как и в математике, в музыке встречаются цифры: звукоряд – 7 нот, нотный стан – 5 линеек. Интервалы: прима – 1, секунда – 2, терция – 3, кварта – 4, квинта – 5, секста – 6, септима – 7, октава – 8. Обозначения аппликатуры и размер произведения записывается тоже при помощи цифр. В музыкальном произведении в целой ноте - две половинных, четыре четвертных, восемь восьмых, 16 шестнадцатых. Длительности получаются так же, как и дроби: они возникают при делении целой на равные доли. Поэтому длительность можно подсчитывать так же, как дробные числа: 1/2, ¼, 1/8, 1/16. Следовательно, названия длительностей служат одновременно и названиями чисел.
2. Ритм. Ритм важнейший элемент в музыке. У каждого музыкального произведения свой ритмический рисунок (чередование нот разной длительности). Числа, оказывается, тоже обладают ритмом.
3. В музыке и математике существуют противоположности: быстро – медленно, громко – тихо, мажор – минор и т.д.
4. В музыке, как и в математике, есть понятие параллельности:
• параллельные тональности;
• линии нотного стана всегда параллельны, то есть, никогда не пересекаются,
• транспонирование нот – перенос звуков на определенный интервал вверх или вниз.
5. Симметрия существует как в математике, так и в музыке. В математике встречается осевая, центральная симметрии. В музыке тоже можно усмотреть симметрию.
Таким образом, я установил как минимум 5 совпадений музыки с математикой, из чего можно сделать вывод, что занимаясь музыкой, человек развивает и тренирует свои математические способности.
Изучение литературы и проведенные исследования убедили нас в том, что музыка и математика тесно связаны друг с другом. Рассматривая музыкальное произведение Б. Савельева «Неприятность эту мы переживем», я пришёл к выводу, что практически каждое музыкальное произведение можно рассматривать с математической точки зрения. Длительность произведения выражается дробным числом, сумма длительностей всех тактов – целое число, если каждой ступени поставить в соответствие число, то получим числовой ряд или числовую закономерность, в которой числа могут повторяться. Раз каждой ноте мы можем поставить в соответствие цифру, то и каждой цифре числа мы можем поставить в соответствие ноту, меня заинтересовало число Пи, теперь я знаю, как оно звучит. Кроме этого, в музыке, как и в математике, встречается параллельность и симметрия.