Исследовательская работа “Функциональное уравнение”
Автор: Карлович Анастасия Александровна
Место работы/учебы: ГУО "Грицкевичский учебно-педагогический комплекс детский сад - средняя школа", Республика Беларусь, 10 класс
Научный руководитель: Данилова Елена Ивановна, учитель математики и информатики
Аннотация
Одно из важнейших математических умений, которым должны овладеть учащиеся средней школы, − умение решать уравнения. Предлагаемая вниманию читателя исследовательская работа посвящена проблеме решения функциональных уравнений.
Актуальность темы исследования заключается в том, что эта тема в школьном курсе математики не изучается в виду её сложности, а на олимпиадах такие задачи встречаются.
Цель настоящего исследования: найти алгоритм решения функциональных уравнений, содержащих под знаком модуля неизвестную функцию.
Объекты исследования: функциональные уравнения.
Задачи исследования:
- Определить, существует ли такая функция f, что для любого действительного значения x выполнено равенство x=f(|x|)+|f(x)|.
- Найти все такие функции f, что для любого действительного x выполнены равенства x=-0,5f(|x|)+|f(x)| и x=0,75f(|x|)+|f(x)| .
- Решить функциональные уравнения: a0 =f(|x|)+|f(x)|, a0 =-0,5f(|x|)+|f(x)|, a0 =0,75f(|x|)+|f(x)|, где a0 – константа.
- Найти все значения параметра a, при которых функциональное уравнение a0 =af(|x|)+|f(x)| не имеет решений; имеет единственное решение; имеет более одного решения.
Гипотеза: существует определенный алгоритм решения функциональных уравнений вида х =af(|x|)+|f(x)| и a0 =af(|x|)+|f(x)| ), где a0– константа и количество корней таких уравнений зависит от значений параметра а и константы a.
Методы исследования: изучение и анализ литературы, поиск необходимой информации в сети Интернет; практический метод; метод аналогии; метод анализа полученных в ходе исследования данных; метод сравнения; метод систематизации и обобщения данных.
Практическая значимость работы заключается в том, что применяемый здесь алгоритм решения уравнений, содержащих под знаком модуля функцию, может быть предложен как один из альтернативных вариантов решения уравнений учащимся, интересующимся математикой. Кроме того, с помощью полученных в ходе исследования формул, можно решать целый класс уравнений, аналогичных рассмотренным в данной исследовании. Вопросы, рассмотренные в работе, не только расширяют кругозор, но и несут обучающую функцию, так как на олимпиадах такие задачи встречаются, что только подчеркивает значимость выбранной темы.
Результаты
В результате проведенного исследования было установлено, что:
1) не существует такой функции f , что для любого действительного значения x выполнено равенство x=f(|x|)+|f(x)|
2) решением уравнения x=-0,5 f(|x|)+|f(x)| для любого действительного x является функция f(x)=2x,при x>0, f(x)=0,при x≤0
3) решением уравнения x=0,75 f(|x|)+|f(x)| для любого действительного x является функция f(x)= -4x,при x≥0, f(x)=2x,при x<0
4) решением функционального уравнения ao =f(|x|)+|f(x)| являются функции f(x)=ao/2 при ao≥0 и f(x)=b,где b≤0,b∈R при ao=0
5) решением функционального уравнения ao =-0,5 f(|x|)+|f(x)| являются функции f(x)=2аo при ao≥0 и f(x)=-2/3 ao при ao≥0
6) решением функционального уравнения ao=0,75 f(|x|)+|f(x)|, являются функции f(x)=4/7 ao при ao≥0 и f(x)=-4ao при ao≥0
7) функциональное уравнение ao=af(|x|)+|f(x)| не имеет решений при ao≤0 и -1≤a≤1
8) функциональное уравнение ao=af(|x|)+|f(x)| имеет единственное решение при ao=0 и -1
Содержание работы
Если прикрепленный файл не отображается, перегрузите, пожалуйста, страницу
Загрузка...
Перезагрузить документ 
Открыть в новой вкладке Дата публикации работы: 31.01.2021
Добавить комментарий